Evaluar la integral
\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \; dx \]
Usar identidades trigonométricas \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos (2 x)) \) y \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos (2 x)) \) en la parte derecha y escribir
\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \; dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) \; dx \]
Expandir el integrando de la integral en el lado derecho
\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2 x)) \; dx \]
Usar identidad trigonométrica \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos (2 x)) \) que también da \( \cos^2 (2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos (4x)) \)
\[ = \dfrac{1}{8} \int (1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos (4x)) ) \; dx \]
Expandir y simplificar el integrando
\[ = \dfrac{1}{8} \int (1 - \dfrac{1}{2}(1 - \cos (4x)) ) \; dx \]
Usar las integrales comunes \( \int 1 dx = x + c\) y \( \int \cos (kx) dx = \dfrac{1}{k} \sin x + c\) para evaluar la integral anterior y obtener la respuesta final
\[ \boxed { \int \sin^2(x) \cos^2(x) \; dx = \dfrac{1}{8} \left(x - \dfrac{1}{4} \sin (4x) \right) + c } \]
